Замечательно, что свойство указанное в теореме Пифагора, является характеристическим свойством прямоугольного треугольника. Это следует из теоремы, обратной теореме Пифагора.
Теорема: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Формула Герона
Выведем формулу, выражающую плоскость треугольника через длины его сторон. Эту формулу связывают с именем Герона александрийского - древнегреческого математика и механика, жившего, вероятно в 1 в.н.э. Герон много уделял внимания практическим приложениям геометрии.
Теорема. Площадь S треугольника, стороны которого равны a , b , c , вычисляется по формуле S=, где p - полупериметр треугольника.
Доказательство.
Дано: ?ABC, АВ= с, ВС= а, АС= b.Углы А и В, острые. СН - высота.
Доказать:
Доказательсво:
Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB=c , BC=a, AC=b. Во всяком треугольнике, по крайней мере, два угла острые. Пусть А и В - острые углы треугольника АВС. Tогда основание H высоты CH треугольника лежит на стороне AB. Введем обозначения: CH = h, AH=y, HB=x. по теореме Пифагора a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2 , откуда
Y 2 - x 2 = b 2 - a 2 , или (y - x) (y + x) = b 2 - a 2 , а так как y + x = c, то y- x = (b2 - a2).
Складывая два последних равенства, п олучаем:
2y = +c, откуда
y=,и, значит, h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=
Следовательно, h = .
По мнению Ван-дер-Вардена , очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.
Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около в 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора .
Формулировки
Основная формулировка содержит алгебраические действия - в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} , а длина гипотенузы - c {\displaystyle c} , выполнено соотношение:
.Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры : в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. В таком виде теорема сформулирована в Началах Евклида.
Обратная теорема Пифагора - утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} . Как следствие, для всякой тройки положительных чисел a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} , такой, что a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} , существует прямоугольный треугольник с катетами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузой c {\displaystyle c} .
Доказательства
В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора , что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия ), метод площадей , существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).
Через подобные треугольники
Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами.
Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника с прямым углом C {\displaystyle C} , квадратов над катетами и и квадрата над гипотенузой A B I K {\displaystyle ABIK} строится высота C H {\displaystyle CH} и продолжающий её луч s {\displaystyle s} , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника и . Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника A H J K {\displaystyle AHJK} с квадратом над катетом A C {\displaystyle AC} ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.
Равенство площадей прямоугольника A H J K {\displaystyle AHJK} и A C E D {\displaystyle ACED} устанавливается через конгруэнтность треугольников △ A C K {\displaystyle \triangle ACK} и △ A B D {\displaystyle \triangle ABD} , площадь каждого из которых равна половине площади квадратов A H J K {\displaystyle AHJK} и A C E D {\displaystyle ACED} соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при A {\displaystyle A} .
Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников A H J K {\displaystyle AHJK} и B H J I {\displaystyle BHJI} , равна сумме площадей квадратов над катетами.
Доказательство Леонардо да Винчи
К методу площадей относится также доказательство, найденное Леонардо да Винчи . Пусть дан прямоугольный треугольник △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} с прямым углом C {\displaystyle C} и квадраты A C E D {\displaystyle ACED} , B C F G {\displaystyle BCFG} и A B H J {\displaystyle ABHJ} (см. рисунок). В этом доказательстве на стороне H J {\displaystyle HJ} последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} , притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть J I = B C {\displaystyle JI=BC} и H I = A C {\displaystyle HI=AC} ). Прямая C I {\displaystyle CI} разбивает квадрат, построенный на гипотенузе на две равные части, поскольку треугольники △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} и △ J H I {\displaystyle \triangle JHI} равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников C A J I {\displaystyle CAJI} и D A B G {\displaystyle DABG} , площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны - половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.
Доказательство методом бесконечно малых
Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений . В частности, Харди приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузы c {\displaystyle c} , и сохраняющие подобие с исходным прямоугольником, то есть, обеспечивающие выполнение следующих дифференциальных соотношений:
d a d c = c a {\displaystyle {\frac {da}{dc}}={\frac {c}{a}}} , d b d c = c b {\displaystyle {\frac {db}{dc}}={\frac {c}{b}}} .Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение c d c = a d a + b d b {\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db} , интегрирование которого даёт соотношение c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+\mathrm {Const} } . Применение начальных условий a = b = c = 0 {\displaystyle a=b=c=0} определяет константу как 0, что в результате даёт утверждение теоремы.
Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.
Вариации и обобщения
Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах
Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в «Началах », перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных подобных геометрических фигур : сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.
Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} и C {\displaystyle C} , построенных на катетах с длинами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузе c {\displaystyle c} соответственно, имеет место соотношение:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C {\displaystyle {\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,\Rightarrow \,A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C} .Так как по теореме Пифагора a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} , то выполнено .
Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение A + B = C {\displaystyle A+B=C} , то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэтный начальному прямоугольный треугольник площадью C {\displaystyle C} , а на катетах - два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом A + B = C {\displaystyle A+B=C} и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.
Теорема косинусов
Теорема Пифагора - это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике :
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2}} ,где - угол между сторонами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} . Если угол равен 90°, то cos θ = 0 {\displaystyle \cos \theta =0} , и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.
Произвольный треугольник
Существует обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник, оперирующее исключительно соотношением длин сторон, считается, что оно впервые было установлено сабийским астрономом Сабитом ибн Куррой . В нём для произвольного треугольника со сторонами в него вписывается равнобедренный треугольник с основанием на стороне c {\displaystyle c} , вершиной, совпадающей с вершиной исходного треугольника, противолежащей стороне c {\displaystyle c} и углами при основании, равными углу θ {\displaystyle \theta } , противолежащему стороне c {\displaystyle c} . В результате образуются два треугольника, подобных исходному: первый - со сторонами a {\displaystyle a} , дальней от неё боковой стороной вписанного равнобедренного треугольника, и r {\displaystyle r} - части стороны c {\displaystyle c} ; второй - симметрично к нему от стороны b {\displaystyle b} со стороной s {\displaystyle s} - соответствующей частью стороны c {\displaystyle c} . В результате оказывается выполнено соотношение :
a 2 + b 2 = c (r + s) {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s)} ,вырождающееся в теорему Пифагора при θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} . Соотношение является следствием подобия образованных треугольников:
c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{r}},\,{\frac {c}{b}}={\frac {b}{s}}\,\Rightarrow \,cr+cs=a^{2}+b^{2}} .Теорема Паппа о площадях
Неевклидова геометрия
Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и недействительна для неевклидовой геометрии - выполнение теоремы Пифагора равносильно постулату Евклида о параллельности .
В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника, которые ограничивают собой октант единичной сферы, имеют длину π / 2 {\displaystyle \pi /2} , что противоречит теореме Пифагора.
При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему .
Сферическая геометрия
Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R {\displaystyle R} (например, если угол в треугольнике прямой) со сторонами a , b , c {\displaystyle a,b,c} соотношение между сторонами имеет вид :
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cdot \cos \left({\frac {b}{R}}\right)} .Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов , которая справедлива для всех сферических треугольников:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + sin (a R) ⋅ sin (b R) ⋅ cos γ {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cdot \cos \left({\frac {b}{R}}\right)+\sin \left({\frac {a}{R}}\right)\cdot \sin \left({\frac {b}{R}}\right)\cdot \cos \gamma } . ch c = ch a ⋅ ch b {\displaystyle \operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\cdot \operatorname {ch} b} ,где ch {\displaystyle \operatorname {ch} } - гиперболический косинус . Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников :
ch c = ch a ⋅ ch b − sh a ⋅ sh b ⋅ cos γ {\displaystyle \operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\cdot \operatorname {ch} b-\operatorname {sh} a\cdot \operatorname {sh} b\cdot \cos \gamma } ,где γ {\displaystyle \gamma } - угол, вершина которого противоположна стороне c {\displaystyle c} .
Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 {\displaystyle \operatorname {ch} x\approx 1+x^{2}/2} ) можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.
Применение
Расстояние в двумерных прямоугольных системах
Важнейшее применение теоремы Пифагора - определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат : расстояние s {\displaystyle s} между точками с координатами (a , b) {\displaystyle (a,b)} и (c , d) {\displaystyle (c,d)} равно:
s = (a − c) 2 + (b − d) 2 {\displaystyle s={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}} .Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения модуля комплексного числа - для z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} он равен длине
Решение задачи:
252 = 242 + 72, значит треугольник прямоугольный и его площадь равна половине произведения его катетов, т.е. S = hс * с: 2, где с - гипотенуза, hс - высота, проведённая к гипотенузе, тогда hс = = = 6,72 (см)
Ответ: 6,72 см.
Цель этапа:
Слайд № 4
«4» - 1 неверный ответ
«3» - ответы неверные.
Предлагаю выполнить:
Слайд № 5
Цель этапа:
В заключении урока:
На доске записаны фразы:
Урок полезен, все понятно.
Еще придется потрудиться.
Да, трудно все-таки учиться!
Просмотр содержимого документа
«Проект урока математики "Теорема, обратная теореме Пифагора" »
Проект урока «Теорема, обратная теореме Пифагора»
Урок «открытия» новых знаний
Цели урока:
деятельностная: формирование у обучающихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия на основе метода рефлексивной самоорганизации;
образовательная: расширение понятийной базы за счёт включения в неё новых элементов.
Этап мотивации учебной деятельности (5 мин)
Взаимное приветствие учителя и обучающихся, проверка подготовленности к уроку, организация внимания и внутренней готовности, быстрое включение учеников в деловой ритм посредством решения задач по готовым чертежам:
Найти ВС, если АВСД – ромб.
АВСД – прямоугольник. АВ:АД = 3:4. Найти АД.
Найти АД.
Найти АВ.
Найти ВС.
Ответы к задачам по готовым чертежам:
1.ВС = 3; 2.АД = 4см; 3.АВ = 3√2см.
Этап «открытия» новых знаний и способов действия (15 мин)
Цель этапа: формулировка темы и целей урока с помощью подводящего диалога (приём «проблемная ситуация»).
Сформулировать утверждения, обратные данным и выяснить, верны ли они: слайд № 1
В последнем случае ученики могут сформулировать утверждение, обратное данному.
Инструктаж к работе в парах по изучению доказательства теоремы, обратной теореме Пифагора.
Я инструктирую обучающихся о способе деятельности, о месте нахождения материала.
Задание парам: слайд № 2
Самостоятельная работа в парах по изучению доказательства теоремы, обратной теореме Пифагора. Публичная защита доказательства.
Одна из пар начинает своё выступление с формулировки теоремы. Идёт активное обсуждение доказательства, в ходе которого с помощью вопросов учителя и учеников обосновывается тот или иной вариант.
Сравнение доказательства теоремы с доказательством учителя
Учитель работает у доски, обращаясь к ученикам, которые работают в тетради.
Дано: АВС – треугольник, АВ 2 = АС 2 + ВС 2
Выяснить, является ли АВС прямоугольным. Доказательство:
Рассмотрим А 1 В 1 С 1 такой, что ˂С = 90 0 , А 1 С 1 = АС, В 1 С 1 = ВС. Тогда по теореме Пифагора А 1 В 1 2 = А 1 С 1 2 + В 1 С 1 2 .
Так как А 1 С 1 = АС, В 1 С 1 = ВС, то: А 1 С 1 2 + В 1 С 1 2 = АС 2 + ВС 2 = АВ 2 , следовательно, АВ 2 = А 1 В 1 2 и АВ = А 1 В 1 .
А 1 В 1 С 1 = АВС по трём сторонам, откуда ˂С = ˂С 1 = 90 0 , то есть АВС – прямоугольный. Итак, если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Данное утверждение называют теоремой, обратной теореме Пифагора.
Публичное выступление одного из обучающихся о Пифагоровых треугольниках (заранее подготовленная информация).
Слайд № 3
После информации задаю ученикам несколько вопросов.
Являются ли пифагорывыми треугольниками треугольники:
с гипотенузой 25 и катетом 15;
с катетами 5 и 4?
Этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи (10 мин)
Цель этапа: продемонстрировать применение теоремы, обратной теореме Пифагора в процессе решения задач.
Предлагаю решить задачу № 499 а) из учебника. Один из обучающихся приглашается к доске, прорешивает задачу с помощью учителя и учеников, проговаривая решение во внешней речи. В процессе выступления приглашённого ученика, я задаю несколько вопросов:
Как проверить, является ли треугольник прямоугольным?
К какой из сторон будет проведена меньшая высота треугольника?
Какой способ вычисления высоты треугольника часто используют в геометрии?
Используя формулу для вычисления площади треугольника, найдите нужную высоту.
Решение задачи:
25 2 = 24 2 + 7 2 , значит треугольник прямоугольный и его площадь равна половине произведения его катетов, т.е. S = h с * с: 2, где с – гипотенуза, h с – высота, проведённая к гипотенузе, тогда h с = = = 6,72 (см)
Ответ: 6,72 см.
Этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону (10 мин)
Цель этапа: совершенствовать самостоятельную деятельность на уроке, осуществляя самопроверку, учить давать оценку деятельности, анализировать, делать выводы.
Предлагается самостоятельная работа с предложением адекватно оценить свою работу и поставить соответствующую оценку.
Слайд № 4
Критерии выставления оценки: «5» - все ответы верные
«4» - 1 неверный ответ
«3» - ответы неверные.
Этап информирования учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению (3 мин).
Сообщаю обучающимся о домашнем задании, разъясняю методику его выполнения, проверяю понимание содержания работы.
Предлагаю выполнить:
Слайд № 5
Этап рефлексии учебной деятельности на уроке (2мин)
Цель этапа: учить обучающихся оценивать свою готовность обнаруживать незнания, находить причины затруднений, определять результат своей деятельности.
На этом этапе я предлагаю каждому ученику выбрать только одного из ребят, кому хочется сказать спасибо за сотрудничество и пояснить, в чем именно это сотрудничество проявилось.
Благодарственное слово учителя является завершающим. При этом я выбираю тех, кому досталось наименьшее количество комплиментов.
В заключении урока:
На доске записаны фразы:
Урок полезен, все понятно.
Лишь кое-что чуть-чуть неясно.
Еще придется потрудиться.
Да, трудно все-таки учиться!
Дети подходят и ставят знак (галочку) у тех слов, которые им больше всего подходят по окончании урока.
Тема: Теорема, обратная теореме Пифагора.
Цели урока: 1) рассмотреть теорему, обратную теореме Пифагора; ее применение в процессе решения задач; закрепить теорему Пифагора и совершенствовать навыки решения задач на ее применение;
2) развивать логическое мышление, творческий поиск, познавательный интерес;
3) воспитывать у учащихся ответственного отношения к учению, культуры математической речи.
Тип урока. Урок усвоения новых знаний.
Ход урока
І. Организационный момент
ІІ. Актуализация знаний
Урок мне бы хотелось начать с четверостишья.
Да, путь познания не гладок
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет!
Итак, на прошлом уроке вы выучили теорему Пифагора. Вопросы:
Теорема Пифагора справедлива для какой фигуры?
Какой треугольник называют прямоугольным?
Сформулируйте теорему Пифагора.
Как запишется теорема Пифагора для каждого треугольника?
Какие треугольники называются равными?
Сформулируйте признаки равенства треугольников?
А теперь проведем небольшую самостоятельную работу:
Решение задач по чертежам.
№1
(1 б.) Найти: АВ.
№2
(1 б.) Найти: ВС.
№3
( 2 б.) Найти: АС
№4
(1 б.) Найти: АС
№5 Дано: АВС D ромб
(2 б.) АВ = 13 см
АС = 10 см
Найти: В D
Самопроверка №1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. Изучение нового материала.
Древние египтяне строили прямые углы на местности таким образом: делили узлами веревку на 12 равных частей, связывали ее концы, после чего веревку растягивали так на земле, чтобы образовался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника, который лежал против стороны с 5 делениями, был прямой.
Можете ли вы объяснить правильность этого суждения?
В результате поиска ответа на вопрос учащиеся должны понять, что с математической точки зрения вопрос ставится: будет ли треугольник прямоугольным.
Ставим проблему: как, не делая измерений, определить, будет ли треугольник с заданными сторонами прямоугольным. Решение этой проблемы и есть цель урока.
Запишите тему урока.
Теорема. Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный.
Самостоятельно доказывают теорему (составляют план доказательства по учебнику).
Из этой теоремы следует, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 – прямоугольный (египетский).
Вообще, числа, для которых выполняется равенство , называют пифагоровыми тройками. А треугольники, длины сторон которых выражаются пифагоровыми тройками (6, 8, 10), - пифагоровы треугольники.
Закрепление.
Т.к. , то треугольник со сторонами 12, 13, 5 не является прямоугольным.
Т.к. , то треугольник со сторонами 1, 5, 6 является прямоугольным.
№ 430 (а, б, в)
( - не является)
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение
между сторонами прямоугольного треугольника .
Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.
Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.
Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата , построенного на гипотенузе , равна сумме площадей квадратов ,
построенных на катетах.
Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c , а длины катетов через a и b :
Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не
требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и
измерив только длины сторон прямоугольного треугольника .
Обратная теорема Пифагора.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то
треугольник прямоугольный.
Или, иными словами:
Для всякой тройки положительных чисел a , b и c , такой, что
существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .
Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.
Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.
Доказательства теоремы Пифагора.
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема
Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие
можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:
доказательства методом площадей , аксиоматические и экзотические доказательства (например,
с помощью дифференциальных уравнений ).
1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.
Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся
напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.
Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим
её основание через H .
Треугольник ACH подобен треугольнику AB C по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC .
Введя обозначения:
получаем:
,
что соответствует -
Сложив a 2 и b 2 , получаем:
или , что и требовалось доказать.
2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.
Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они
используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.
- Доказательство через равнодополняемость.
Расположим четыре равных прямоугольных
треугольника так, как показано на рисунке
справа.
Четырёхугольник со сторонами c - квадратом,
так как сумма двух острых углов 90°, а
развёрнутый угол — 180°.
Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,
площади квадрата со стороной (a+b ), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и
Что и требовалось доказать.
3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.
Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и
наблюдая изменение стороны a , мы можем
записать следующее соотношение для бесконечно
малых приращений сторон с и a (используя подобие
треугольников):
Используя метод разделения переменных, находим:
Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:
Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:
Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:
Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной
пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми
вкладами от приращения разных катетов.
Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения
(в данном случае катет b ). Тогда для константы интегрирования получим: